ЗАРИСОВКИ к 7-му АРКАНУ ТАРО
ЦИФРЫ. БИБЛИОТЕКА. ЭНЦИКЛОПЕДИЯ.
ЦИФРЫ (от позднелат. cifra), знаки для обозначения чисел. Первые цифры появились у египтян и вавилонян. У ряда народов (древние греки, финикияне, евреи, сирийцы) цифрами служили буквы алфавита, аналогичная система применялась и в России до 16 в. В средние века в Европе пользовались системой римских цифр (I, II, III, IV, V, VI и т. д.), основанной на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Современные цифры (арабские) перенесены в Европу арабами в 13 в. (по-видимому, из Индии) и получили широкое распространение со 2-й пол. 15 в. В узком смысле слова цифрами называются знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. См. также Счисление. [38]
ЦИФРЫ (позднелат. cifra, от араб, сифр - нуль, буквально - пустой; арабы этим словом называли знак отсутствия разряда в числе), условные знаки для обозначения чисел. Наиболее ранней и вместе с тем примитивной является словесная запись чисел, в отдельных случаях сохранявшаяся довольно долго (например, некоторые математики Средней Азии и Ближнего Востока систематически употребляли словесную запись чисел в 10 веке и даже позже). С развитием общественно-хозяйственной жизни народов возникла потребность в создании более совершенных, чем словесная запись, обозначений чисел (у разных народов числовые знаки были различными, см. табл. 1) и в разработке принципов записи чисел - систем счисления.
Древнейшие известные нам цифры - цифры вавилонян и египтян. Вавилонские цифры (2-е тысячелетие до н. э. - начало н. э.) представляют собой клинописные знаки для чисел 1, 10, 100 (или только для 1 и 10), все остальные натуральные числа записываются посредством их соединения. В египетской иероглифической нумерации (возникновение её относится к 2500 - 3000 до н. э.) существовали отдельные знаки для обозначения единиц десятичных разрядов (вплоть до 10 в седьмой степени). Позднее наряду с картинным иероглифическим письмом египтяне пользовались скорописным гиератическим письмом, в котором было больше знаков (для десятков и т. д.), а затем демотическим письмом (примерно с 8 века до н. э.).
Нумерациями типа египетской иероглифической являются финикийская, сирийская, пальмирская, греческая, аттическая или геродианова. Возникновение аттической нумерации относится к 6 веку до н. э.; нумерация употреблялась в Аттике до 1 века н. э., хотя в других греческих землях она была задолго до этого вытеснена более удобной алфавитной ионийской нумерацией, в которой единицы, десятки и сотни обозначались буквами алфавита, все остальные числа до 999 - их соединением (первые записи чисел в этой нумерации относятся к 5 веку до н. э.). Алфавитное обозначение чисел существовало также и у других народов; например, у арабов, сирийцев, евреев, грузин, армян. Старинная русская нумерация (возникшая около 10 века и встречавшаяся до 16 века) также была алфавитной с применением славянской азбуки кириллицы (реже - глаголицы, см. Славянские цифры). Наиболее долговечной из древних цифровых систем оказалась римская нумерация, возникшая у этрусков около 500 до н. э.; она употребляется иногда и в настоящее время (см. Римские цифры).
Прообразы современных цифр (включая нуль) появились в Индии, вероятно, не позднее 5 века н. э. [до этого в Индии пользовались цифрами карошти и наряду с ними нумерацией, цифры которой сходны с буквами алфавита брами, см. в табл. 1 цифры из надписи в пещере Назик (или Насик)]. Удобство записи чисел при помощи этих цифр в десятичной позиционной системе счисления обусловило их распространение из Индии в другие страны. В Европу индийские цифры были занесены в 10 - 13 веках арабами (отсюда и сохранившееся поныне их др. название – «арабские» цифры) и получили всеобщее распространение со 2-й половины 15 века. Начертание индийских цифр претерпело со временем ряд крупных изменений (см. табл. 2); ранняя их история плохо изучена.
Лит. см. при ст. Счисление.
В. И. Битюцков. [46]
ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ У РАЗНЫХ НАРОДОВ Табл.1 (350 KB)
ЭВОЛЮЦИЯ ИНДИЙСКИХ ЦИФР Табл.2 (32 KB)
Откуда явились наши арабские цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Какой народ изобрёл нашу великолепную десятичную позиционную систему счисления?
Арабские и персидские учебники арифметики единогласно приписывают индусам изобретение 9 цифр. И действительно, если мы рассмотрим формы цифр на рис. 21, заимствованном из превосходной книги Меннингера (Zahlwort und Ziffer, стр. 329), то мы сразу увидим, что наши цифры произошли от западно-арабских, а те в свою очередь произошли от индийских.
Но, давайте, начнём с самого начала.
В доисторические времена, примерно между 2000 и 1400 до н. э., арийцы вторглись в Индию, подчинили себе её население и ввели кастовую систему. Мы не знаем, было ли тогда разграничение каст таким же строгим, как теперь, но, разумеется, завоеватели образовали высшие касты: воинов и браманов, т. е. дворянство и духовенство.
На науку эти люди ещё не обращали внимания: меч они предпочитали перу. Но мы знаем, что во время развития буддизма, т. е. в последние шесть веков до н. э., у них появился интерес к области чисел, в особенности интерес к очень большим числам.
Рис. 21 Генеалогия наших цифр
*
Цифровые знаки: кхарошти и брахми
Рис. 22. Числовые знаки кхарошти.
Начиная со времён великого буддийского царя Ашоки (3-й век до н. э.), мы находим цифровые знаки также и в книгах. В это время в употреблении были различные виды письма, а именно кхарошти и брахми, каждому из которых соответствовали свои цифровые знаки. Цифры кхарошти изображены на рис. 22. Они имеют для 1, 4, 10, 20 специальные знаки, которые повторяются столько раз, сколько понадобится, – как в римских цифрах. Знаки 4 и 20 встречаются и в других местах. Таким образом, ничего особенного здесь нет.
*
Более интересны цифры брахми, которые изображены на рис. 23 (тоже по Меннингеру). Как видно, ещё не существует ни нуля, ни позиционной системы: знак для 60 не имеет ничего общего со знаком для 6. Но, однако, это – многообещающая система; она несёт в себе зачатки дальнейшего развития. Числа, меньшие 10, изображаются каждое одним знаком, а не двумя, как в письме кхарошти. Сами знаки напоминают соответствующие арабские цифры: взгляните только на 6, 7, 8, 9! Вслед за сотнями, как мы видим, появляется своего рода «именованная позиционная система»: знаки для 100 и 1000 соединяются с цифрой, показывающей, сколько имеется сотен или тысяч.
Рис. 23. Числовые знаки брахми.
Изобретение позиционной системы
У всех других народов, которые приняли «арабские» цифры, не исключая и самих арабов, цифры в своём письменном изображении являются в общей системе письма инородным телом. Только у индусов они не являются инородным телом; в 3-м веке до н. э. мы встречаем в качестве цифр от 1 до 9 те же самые знаки, которые позднее, будучи пополнены нулём, стали употребляться для изображения всех чисел. Уже одно это показывает, как правильно замечают Датта и Сингх, что индусы действительно должны быть названы изобретателями нашей позиционной системы.
Время изобретения
Когда же они её изобрели? Трудный вопрос! На одной дарственной записи от 595 н. э. дата, соответствующая году «Samvat 346», записана цифрами брахми 346. Однако некоторые из этих записей по понятным причинам были подделаны. Кэй, который перечисляет 18 записей, полагает, что 16 из них – подделки. Мне этот процент кажется слишком большим. Датта и Сингх в своей «Истории индийской математики» насчитывают более 30 надписей с годами, записанными десятичными цифрами; они датируются 595, 646, 674 и т. д. вплоть до 972 года.
Проф. Гонда, санскритолог Утрехтского университета, не видит оснований считать эти надписи подложными. Даже если бы в упомянутом списке и имелись некоторые подделки, то и тогда мы всё-таки имели бы право утверждать, что по крайней мере в 7-м веке были широко известны 9 цифр и нуль. Само изобретение должно было иметь место ранее 6-го века, так как в подобных случаях новинку сначала употребляют учёные, а уже потом она довольно медленно распространяется в более широких кругах. Так это было и в Аравии, так было и в Европе.
Принцип позиционного обозначения, т. е. принцип, согласно которому одна и та же цифра в зависимости от занимаемого ею места может обозначать четыре, или: сорок, или четыреста, был во всяком случае известен в 6-м веке индусским астрономам и вычислителям. Для того чтобы доказать это, нам придется подробно рассмотреть обозначения, которыми пользовались эти астрономы и вычислители.
Ван Дер Варден Б.Л [B.157]